Метод узловых потенциалов пример расчета электрической цепи (ЭЦ)

Метод узловых потенциалов – один из эффективных способов анализа ЭЦ, который рекомендуется применять, когда количество узлов в схеме меньше или равно числу независимых контуров. Данный способ базируется на составлении уравнений по первому закону Кирхгофа. При этом, потенциал одного из узлов принимаем равным нулю, что дает возможность сократить число уравнений до n-1.
Метод узловых потенциалов пример решения задачи

На рисунке ниже представлена ЭЦ, со следующими известными величинами:

Метод узловых потенциалов пример расчета

1. Четвертый узел примем за базовый, поэтому будем считать его потенциал нулевым.

2. В соответствии с первым законом Кирхгофа составим уравнения для узла 1,2,3 (для четвертого узла не составляем)

I6-I7-I1=0
I1+I4-I6-I3=0
I2-I4-I5=0

3. В соответствии с законом Ома составим уравнения для вычисления каждого из токов (за φi принимаем потенциал узла из которого ток идет, а за φ потенциал узла в который он входит) Gi – проводимость i-ой ветви цепи.

уравнение для вычисления каждого из токов

4. Подставим полученные формулы для токов в уравнения из второго пункта, получим:

φ1(G1+G6+G7)+φ2(-G1-G6)=-E1G1
φ1(-G1-G6)+φ2(G1+G3+G4+G6)+φ2(-G4)=-E1G1
φ2(-G4)+φ3(G2+G4+G5)=E2G2

Данная система уравнений записана для электрической цепи из четырех узлов, а для n узлов, будут справедливы следующие уравнения:

Проводимости G11,G22 и т.п. это сумма проводимостей которые сходятся в узле (собственные проводимости), они всегда берутся со знаком плюс. Проводимости G12,G21 и другие - проводимости ветвей соединяющих узлы (общие проводимости), всегда берутся с отрицательным знаком. Если источник ЭДС или тока направлен к узлу, то берем его со знаком плюс, иначе со знаком минус.

5. Математически решив систему уравнений из предыдущего пункта, вычислим неизвестные потенциалы в узлах, а затем посчитаем с помощью них протекающие токи.

φ1=10,7 В
φ2=26,6 В
φ3=56,7 В
I1=(φ12+E1)G1=(10,7-26,6+50)×0,04=1,36 А
I2=1,97 А
I3=0,63 А
I4=0,86 А
I5=1,11 А
I6=1,59 А
I7=0,23 А

Правильность вычислений можно проверить с помощью баланса мощностей (закона сохранения энергий):

проверка расчетов с помощью баланса мощностей
Метод двух узлов пример решения задачи

Одним из распространенных способов решения задач в электрических цепях является метод двух узлов. Он используется только в том случае, когда в цепи имееется только два узла.

Алгоритм решения задачи следующий:

Потенциал любого из узлов условно примем нулевым
Составим узловое уравнение для ненулевого узла
Определим напряжение между узлами
По закону Ома, вычислим токи в ветвях

Для закрепления материала решим простую задачу по электротехнике эти способом.

Метод двух узлов - задача по электротехнике

1. Потенциал второго узла примем равным нулю φ2=0. Тогда U12 будет идти из точки с большим уровнем потенциала, к точке с меньшим.

Составим узловое уравнение для первого узла электрической цепи.

φ1(g1+g2+g3)-φ2(g1+g2+g3)=E1g1-E3g3

где g1,g2,g3 проводимости ветвей ЭЦ

g1=1/r1=0,1 См
g2=0,066 См
g3=0,05 См

Знак ЭДС зависит от её направлением, если к узлу, то положительный, если от него – отрицательный.

3. Расчитаем напряжение U12 между двумя узлами:

U1212

А учитывая тот факт, что φ2=0, то можно записать следующее выражение:

В общем случае формула напряжения выглядит так:

На последнем этапе определим токи протекающие в ветвях. Причем если направление ЭДС будет совпадать с направление напряжения, то напряжение берем с плюсовым знаком. Иначе с отрицательным знаком.

расчет токов протекающих в ветвях

Проверим правильность решения задачи с помощью баланса мощностей. Напомним на всякий пожарный, что мощность всех источников ЭДС должна быть равна мощности приемников.

Т.е, задача решена верно, с помощью метода двух узлов.

Законы Кирхгофа для электрических цепей

Соотношения, которые происходят между напряжениями и токами на участках абсолютно любой ЭЦ. С помощью законов Кирхгофа можно рассчитывать любые цепи постоянного и переменного тока.