Метод контурных токов пример расчета электрической цепи (ЭЦ)

Один из основных способов анализа электрической цепи при решение задач электротехники является метод контурных токов. Основой для него является второй закон Кирхгофа. Главное достоинство способа это снижение количества уравнений до m – n +1, где m - количество ветвей, а n - узлов в ЭЦ. На практике подобное уменьшение резко упрощает расчет и делает его более понятным.
Основные понятия и определения

Контурный ток - во всех ветвях данного контура он равный. Обычно в подобных расчетах они обозначаются двойными числовыми индексами, например I11, I22 и тд.

Действительный ток в любой из ветвей ЭЦ вычисляется, как алгебраическая сумма контурных токов, в которую эта ветвь входит. Нахождение действительных токов и есть первостепенная задача при расчете ЭЦ методом контурных токов.

Контурная ЭДС - сумма всех ЭДС входящих в контур.

Собственное сопротивление контура эта сумма отдельных сопротивлений всех ветвей, из которых он состоит.

Общее сопротивлением контура это сопротивление ветви, смежное двум контурам.

Метод контурных токов алгоритм составления уравнений
1 – Выбираем направления действительных токов.
2 – Условный выбор независимых контуров и направления протекающих контурных токов в них.
3 - Расчет собственных и общих сопротивлений контуров
4 – Составление уравнений и вычисление контурных токов
5 – Определение действительных токов
Пример решения задачи методом контурных токов

Задача:

Задача по электротехники методом контурных токов

1. Условно задаем направления действительных токов I1-I6.

Выбрали направление токов

2. В нашей ЭЦ можно выделить три контура, а затем выберем направление контурных токов I11,I22,I33, допустим по часовой стрелке.

ЭЦ с тремя контурами

Вычислим собственные сопротивления контура. Для этого складываем сопротивления в каждом контуре.

R11=R1+R4+R5=10+25+30=65 Ом
R22=R2+R4+R6=15+25+35=75 Ом
R33=R3+R5+R6=20+30+35= 85 Ом

Далее можно рассчитать общие сопротивления, их достаточно легко обнаружить, в случае если они относятся сразу к нескольким контурам, например R4 принадлежит первому и второму контуру. Поэтому для удобства, такие сопротивления обозначаются номерами контуров к которым они относятся.

R12=R21=R4=25 Ом
R23=R32=R6=35 Ом
R31=R13=R5=30 Ом

Теперь можно составить системы уравнений контурных токов. В левой части уравнений находятся падения напряжений в контуре, а в правой части ЭДС источников данного контура. Т.к в нашей ЭЦ три контура, поэтому, система уравнений состоит из трех частей. Для первого контура можно записать:

I11×R11-I22×R21-I33×R31=E1

Для второго:

I22×R22-I11×R12-I33×R32=-E2

Для третьего:

I33×R33-I11×R13-I22×R23=E3

В полученную систему уравнений подставляем ранее вычисленные значения сопротивлений и решаем её.

система уравнений

Теперь можно вычислить действительные токи, для этого можно записать следующие выражения.

I1=I11=2,726

Контурный ток равен действительному току, который относитсяя только этому контуру. То есть если ток течет только через один контур, то он будет равен контурному.

Но при этом, нужно обязательно учитывать направление обхода, допустим, в нашем практическом примере ток I2 не совпадает с направлением, поэтому он взят с отрицательным знаком.

-I2=-I22=-1,264
I3=I33=2,189

Токи, идущие через общие сопротивления вычисляем как алгебраическую сумму контурных токов, но учитываем при этом направление обхода.

Например, через сопротивление R4 идет ток I4, его направление совпадает с выбранным направлением обхода первого контура и противоположно направлению второго. Значит, для него можно записать:

I4=I11-I22=2,726-1,264=1,462

И для остальных:

I5=I11-I33=0,537
I6=I33-I22=0,925

Вот таким простым способом и решаются сложные задачи по электротехнике.

Метод наложения токов

Часто вместо вышеописанного метода контурных токов для анализа ЭЦ широко применяется другой способ – метод наложения. Он базируется на принципе наложения, который используется только в не сложных линейных системах.

Суть способа состоит в том, что токи протекающие в ветвях определяются как алгебраическая сумма их составляющих от каждого отдельного источника. То есть каждый источник вносит свою собственную частицу в каждый ток ЭЦ, а чтобы рассчитать эти токи, потребуется найти и сложить все его составляющие, т.е, мы сводим решение одной сложной ЭЦ к нескольким мелким с одним источником.

Алгоритм расчета

1. Составление частных схем, с одним источником, другие источники при этом исключаются, от них учитываем только их внутренние сопротивления.
2. Вычисление частичных токов в составленных частных схемах, обычно это достаточно просто, так как ЭЦ получается не большой.
3 – Алгебраическое суммирование всех частичных токов, для нахождения токов в первоначальной большой цепи.

Задача:

Решение задачи методом наложения токов

1. Выбираем направление протекания токов, если в результате какой либо ток получится с отрицательным знаком, значит мы не угадали с выбором направления.

произвольно выбранное направление токов

2. Составим частную схему с первым источником ЭДС и определим частные токи в ней, исключив второй источник. Для простоты частичные токи обазначим штрихами.

частная схема с одним источником ЭДС

Осуществим сворачивание схемы к одному контуру, с сопротивлением источника ЭДС и эквивалентным сопротивлением цепи для вычисления тока источника I1.

свернутая схема до одного контура

По закону Ома определим ток для полной цепи и вычислим напряжение на R2345

ток для полной цепи Метод наложения
U2345=I'1×R2345=5,632×15,756=88,738В

Теперь можно найти токи I3 и I4

При нахождение токов I2 и I5, предварительно определим напряжение на R25

3. Составим частную схему с другим источником ЭДС

частная схема со вторым источником ЭДС

Аналогичным способом найдем все частичные токи протекающие от второй ЭДС: I"1=2,174 А, I"2=7,258 А, I"3=0,174 А, I"4=2,347 А, I"5=4,911 А.

5. Теперь можно вычислить токи в исходной цепи, для этого просуммируем частичные токи, обязательно учитывая их направленность соответствующим знаком. Допустим, если направление частичного тока совпадает с направлением исходного, то берем со знаком плюс, иначе наоборот.

I1=I'1-I"1=3,459
I2=I'2+I"2=5,448
I3=I'3+I"3=3,723
I4=-I'4+I"4=0,265
I5=I'5+I"5=5,183

Проверим с правильность решения задачи с помощью метода баланса мощностей:

Законы Кирхгофа для электрических цепей

Соотношения, которые происходят между напряжениями и токами на участках абсолютно любой ЭЦ. С помощью законов Кирхгофа можно рассчитывать любые цепи постоянного и переменного тока.