Последовательные цепи переменного тока примеры расчета

В курсе данной лекции по электротехники мы рассмотрим цепи переменного тока, содержащие индуктивность, ёмкость и сопротивление, соединённые последовательно.
Последовательная цепь переменного тока RL при соединении индуктивности и сопротивления.

Начнем нашу лекцию с рассмотрения цепи переменного тока, состоящей из последовательно соединенного резистора R и катушки индуктивности L.

Последовательная RL-цепь

При этом напряжение приложенное к схеме определяется по следующей формуле:

u=Umsinωt

В соответствии со вторым законом Кирхгофа можно записать:

u=uR+uL

Тогда напряжение на сопротивлении и катушке индуктивности равно:

напряжение на резисторе и индуктивности

Отсюда напряжение, приложенное к последовательной цепи LR определяется по следующей формуле:

напряжение, приложенное к последовательной цепи LR

Поэтому ток протекающий в такой цепи равен:

i=Im(sinωt-φ)

Подставив ток в формулу для напряжения, в результате получим:

расчет последовательной RL цепи переменного тока

Из выражений выше, хорошо видно, что первое слагаемое это напряжение на сопротивлении, то есть:

uR=ImR(sinωt-φ)
UR=ImR

Из этого выражения можно легко сделать вывод о том, что напряжение и ток в резисторе совпадают по фазе.

Посмотрим, что происходит с напряжением на индуктивности:

Таким образом напряжение на катушке опережает ток на угол:

π/2

Как мы уже знаем, реактивное сопротивление катушки индуктивности равно:

XL=ωL=2πfL

Индуктивное сопротивление катушки зависит от частоты. При постоянном токе, она равна нулю, а поэтому и сопротивление тоже. Сдвиг фаз в последовательной RL-цепи можно вычислить по формуле:

Сдвиг фаз в последовательной RL-цепи переменного тока

Отсюда, формула полного сопротивления RL-цепи, выглядит так:

полное сопротивления RL-цепи

Тогда амплитудное значение тока определим так:

амплитудное значение тока в RL-цепи переменного тока

Пример расчета RL-цепи переменного тока: здесь

Последовательная цепь переменного тока RC при соединении конденсатора и сопротивления.

Рассмотрим последовательную RC-цепь, состоящую из двух компонентов, а именно - последовательно соединенных резистора и конденсатора.

последовательная RC цепь переменного тока

Напряжение приложенное к схеме в этом случае определяется по формуле:

u=Umsinωt

Из второго закона Кирхгофа можно записать это же напряжение как сумму падений напряжений на резисторе и емкости.

u=uR+uC

Где:

Тогда протекающий ток в схеме равен

i=Im(sinωt-φ)

Подставив этот промежуточный результат в выражение выше, и осуществив интегрирование, получим:

формула

При этом напряжение на резисторе и конденсаторе будет равно:

uR=ImR(sinωt-φ)
uR=ImR
Напряжение на конденсаторе

Как видно из последней формулы напряжение на емкости отстает от тока на угол:

π/2

Реактивное емкостное сопротивление конденсатора находим по формуле:

формула для расчета реактивного сопротивления

Как видим с снижением частоты емкостное сопротивление возрастает. При постоянном токе оно будет стремиться к бесконечности, так как частота тока будет равна нулю.

Сдвиг фаз, полное сопротивление, амплитудное значение тока в последовательной RC – цепи переменного тока можно вычислить по формулам ниже:

Формулы для расчета сдвига фаз, полного сопротивления, амплитудного значение тока в последовательной RC – цепи

Пример расчета RC-цепи переменного тока: здесь

Последовательная цепь переменного тока RCL при соединении конденсатора, сопротивления и катушки индуктивности

Рассмотрим более сложный случай, состоящий из последовательно соединенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора.

Последовательная цепь переменного тока типа RCL

Напряжение на зажимах схемы будет:

u=Umsinωt
u=uR+uC+uL

Выполнив подстановку, можно записать так:

Подставим в эту формулу ток протекающий в цепи, получим

i=Im(sinωt-φ)

В финале увидим такую длинную формулу:

Расчет последовательной цепь переменного тока типа RCL

Отсюда легко можно увидеть сдвиг фаз каждого компонента. У сопротивления он отсутствует, то есть ток и напряжение полностью совпадают по фазе, у индуктивности напряжение опережает ток на угол 3,14/2, а у конденсатора, наоборот, отстает на этот угол.

Сдвиг фаз, полное сопротивление и амплитудное значение тока RLС-цепи можно вычислить по формулам ниже:

формулы расчета сдвига фазы и полного сопротивления цепи
При построении ВД RLC-цепи возможны три варианта:
1 – Цепь носит активный характер, в этом случае сдвиг фаз равен нулю, емкостное и индуктивное сопротивления одинаковые. Такой случай получил название - резонанс напряжений.
Векторная диаграмма RLC-цепи активного характера

2 вариант: Цепь носит индуктивный характер, в этом случае индуктивное сопротивление больше чем сопротивление на кокденсаторе.
Векторная диаграмма RLC-цепи индуктивного характера

На ВД, обычно, сначала откладывают вектор напряжения на индуктивности, а затем из него вычитают напряжение на емкости. После этого строят вектор общего напряжения и определяют сдвиг.
3 – Цепь носит емкостной характер, при этом емкостное сопротивление выше чем индуктивное.
Векторная диаграмма RLC-цепи емкостного характера

Построение ВД осуществляется аналогично цепи с индуктивным характером, за малым исключением, т.к здесь сдвиг фаз отрицателен и вычитается уже индуктивное напряжение